Regelmatige veelvlakken

Definitie

De definitie van een regelmatig veelvlak is als volgt:

  • een ruimtelijke figuur bestaande uit gelijke veelvlakken;
  • alle hoekpunten zijn gelijk;
  • alle ribben zijn gelijk;
  • alle hoekpunten raken een omgeschreven bol. Dit is geen voorwaarde maar een konstatering.

Er zijn 5 regelmatige veelvlakken:

  • 4-vlak of tetraëder: driehoeken;
  • 6-vlak of hexaëder of kubus: vierkanten;
  • 8-vlak of octaëder: driehoeken;
  • 12-vlak of dodecaëder: vijfhoeken;
  • 20-vlak of icosaëder: driehoeken.

Andere combinaties zijn niet mogelijk omdat dan de tophoeken samen groter of gelijk aan 360˚ zouden zijn. Bij een zeshoek bijvoorbeeld zijn de hoeken 120˚ en 3 van die hoeken zijn precies 360˚ ofwel een plat vlak. Een zevenhoek heeft hoekpunten van ongeveer 128˚, dat geeft meer dan 360˚ en dat is onmogelijk.

4-vlak

Het viervlak, ook wel een tetraëder genoemd, lijkt een heel klein beetje op een pyramide. Alleen is het grondvlak een driehoek in plaats van een vierkant.

regelmatig-1
4-vlak

Het viervlak is het eerste van de 5 regelmatige veelvlakken. Het bestaat uit 4 gelijkzijdige driehoeken met 4 hoekpunten van elk 3x 60°.

Meteen na de 2de wereldoorlog moesten de basisschool leerlingen extra melk drinken. Elke dag werd er voor elk kind op school ½ liter melk in een glazen flesje bezorgd. Heel zwaar alleen al die lege flesjes samen.

In die tijd was net het plastic uitgevonden en een fabrikant kwam in 1951 op het idee om de melk in lichtgewicht plastic zakjes te bezorgen. Nee, niet zomaar zakjes, maar tetraëders. Met een rietje kon eruit gedronken worden. De firma die dit bedacht bestaat nog steeds en heet Tetra Pak, kijk maar onder op de kartonnen melk- of yoghurtpakken.

Een simpele tetraëder maken

Neem een plastic broodzakje, maak de open kant dwars op de bodem dicht, bijvoorbeeld met een seal-apparaat, prik er een heel klein gaatje in en blaas hem voorzichtig op of vul hem boven de gootsteen met water. Of neem het kartonnen kokertje van een keuken- of toilet-rol, snij er 6 cm vanaf, maak 1 einde plat en lijm die dicht, knijp en lijm dan de andere kant loodrecht op de eerste kant dicht.

6-vlak

Dit is het meest bekende figuur in onze samenleving: de doos,
makkelijk stapelbaar, eenvoudig te maken, neemt weinig ruimte in beslag, is goed plat op te vouwen, enzovoort.

regelmatig-2
Kubus

We kennen hem vooral ook als kubus en met de “deftige” naam hexaëder, maar vooral als dobbelsteen, als memoblok en ook als huis en als container. Het bestaat uit 6 even grote vierkanten en 8 hoekpunten van elk 3x 90°. Alle kartonnen dozen zijn toepassingen van de kubus, zij het in rechthoekige vorm.
De verpakkingsindustrie heeft allerlei vernuftige manieren bedacht om de bodem te versterken en om geen lijm te gebruiken.

Verhuisdozen zijn ook weer zo’n fraai voorbeeld en zo zijn er ontelbaar veel voorbeelden.

8-vlak

Een figuur die het meest lijkt op een dubbele pyramide. Hieronder een foto van een 8-vlak:

regelmatig-3
Acht-vlak

De officiele naam is octaëder. Het feit dat er geen andere naam voor is betekent al dat hij in de praktijk weinig voorkomt.
Het lijkt een beetje op het “tegengestelde” van een kubus: 8 vlakken en 6 hoekpunten van elk 4x 60°. In de scheepvaart zie ik hem wel eens als boei en ook als radarreflector, maar het leukst is natuurlijk om hem in de kast tussen de andere regelmatige veelvlakken te hebben.

12-vlak

Twaalf keer een vijfhoek, de “deftige” naam is dodecaëder. Vooral het 12-vlak heeft in diverse godsdiensten en/of religies een bijzondere betekenis. Dit komt bijvoorbeeld door de 12 vlakken die voor de 12 delen van een jaar staan. Maar 12 is ook het heilige getal.

regelamtig-4

Je zou op elk vlak een maand kunnen uitschrijven. Zo krijg je een aardige maand kalender voor op je bureau.

20-vlak

Deze figuur bestaat uit 20 gelijkzijdige driehoeken.

regelmatig-5
Regelmatig 20-vlak

Net zoals de dodecaëder komt dit veelvlak in diverse godsdiensten en religies veel voor.

Bouwplaat van een 4-vlak

Een pdf-bestand met een bouwplaat voor een viervlak . Print hem uit op een vel stevig A4 papier, bijvoorbeeld 120 grams. Alle vouwlijnen met een puntig voorwerp even rillen om het vouwen makkelijker te maken. Dan uitknippen of uitsnijden.

Gebruik hobby plaksel of witte houtlijm. Smeer een plakrandje in en lijm die tegen het vlak. Doe zo alle randjes. (Gebruik geen fotolijm, contactlijm, secondenlijm of watervaste houtlijm, dan zul je problemen krijgen en vlekken.)

Handig hulpmiddeltje zijn een sate-prikker en een bot keukenmesje, zowel voor het lijmen als voor het vastdrukken in de hoekpuntjes.

Bouwplaat van een 6-vlak

Een pdf-bestand voor de bouwplaat van een 6-vlak. Print hem uit op stevig papier, liefst 120 grams.

Advies: plak eerst de 2 uiterste vierkanten aan elkaar, dan de bodem tegen een zijvlak, dan de volgende 2 zijvlakken tegen de bodem en dan pas de 2 zijranden van het deksel.

Als alles goed zit is het wat lastiger om de laatste plakrand met plaksel in te smeren, gebruik daarom een bot keukenmesje of een sate prikker. Het gebruiken van een sate-prikker is ook handig om bij de plakrandjes binnenin te komen.

Bouwplaat van een 8-vlak

Hier vind je de bouwplaat. Print hem uit op stevig papier, liefst 120 grams.

De wenken hierboven gelden natuurlijk ook voor dez bouwplaat.

Bouwplaat van een 12-vlak

Een 12-vlak bestaat helemaal uit 5-hoeken. Die zijn wat lastig om alleen met een lineaal te tekenen, maar bij de Gulden Snede bij het pentagram staan alle details van een vijfhoek en hoe die te maken met een passer.

Hier een bouwplaat van een regelmatig 12-vlak in pdf-formaat.Print hem uit op een vel stevig A4 papier, liefst 120 grams.

Voor het lijmen is er geen duidelijke voorkeur, begin gewoon met het binnenste plakrandje dan volgen alle andere vanzelf. Maar bedenk wel dat een beetje geduld betere resultaten geeft dan vlug-vlug afraffelen.

Bouwplaat van een 20-vlak

Als de vier-, acht- en twaalfvlakken zijn gemaakt dan is dit geen moeilijk figuur. Klik hier voor een bouwplaat in pdf-formaat.

Voor het uitknippen of -snijden eerst alle lijntjes rillen om ze beter en strakker vouwbaar te maken. Plak 1 na 1 de randjes van elke helft aan elkaar, dan pas de beide helften heel voorzichtig in elkaar zetten. Let op: geduld en rust. Met haastwerk wordt het een walgelijk ding met vlekken en kromme vlakken.

Nog wat cijfertjes

  • Alle formules zijn steeds een functie van de lengte Z van de zijde of ribbe;
  • H is de hoogte in stabiele toestand, dus een vlak als basis;
  • T is de straal van de omgeschreven bol;
  • R is de straal van de ingeschreven bol;
  • A is de totale buitenoppervlakte;
  • V is het volume, weinig zinvol, maar voor de compleetheid.
Hoogte H Straal T Straal R Opp. A Volume V
4-vlak Z•⅓√6 Z•¼√6 Z Z2•√3 1/12√2•Z3
6-vlak Z Z•½√3 ½•Z 6•Z2 Z3
8-vlak Z•⅓√6 Z•½√2 Z•⅓√6 Z2•2√3 ⅓√2•Z3
12-vlak 2,227•Z 1,402•Z 1,114•Z 20,65•Z2 7,663•Z3
20-vlak 1,512•Z 0,951•Z 0,756•Z √3•Z2 2,869•Z3

De afstand tussen 2 overstaande hoekpunten is 2 x T, maar niet voor een 4-vlak omdat die geen overstaande hoekpunten heeft.
Voor het 12-vlak en het 20-vlak zijn de formules herleid tot decimale breuken omdat de formules te ingewikkeld zijn.

Tenslotte

Veel plezier met het knippen en plakken!